1. 변수 바꾸기의 핵심 아이디어

우리가 보고 있는 식은

lim⁡x→af(x−a)x−a\lim_{x\to a} \frac{f(x-a)}{x-a}

x→alim​x−af(x−a)​

이죠.

여기서 x가 a로 가까워질 때, x−ax-a

x−a는 0으로 가까워져요.

그래서 그냥 새로운 문자 t=x−at = x-a

t=x−a 라고 두면,

x→ax \to a

x→a일 때 t도 0으로 감.

즉,

lim⁡x→af(x−a)x−a    는 똑같이    lim⁡t→0f(t)t\lim_{x\to a} \frac{f(x-a)}{x-a} \quad\;\; \text{는 똑같이} \quad\;\; \lim_{t\to 0} \frac{f(t)}{t}

x→alim​x−af(x−a)​는 똑같이t→0lim​tf(t)​

로 바뀌어요.

이건 단순히 편하게 보려고 문자를 t로 바꾼 것뿐이에요. (문자 이름만 다를 뿐, 실제로는 똑같은 수를 가리킴)

2. 그럼 왜 다시 x로 바꿔도 되나요?

수학에서는 변수 이름은 그냥 껍데기예요.

• 내가 “사과 3개”를 “apple 3개”라고 불러도, 실제 개수는 똑같죠?

• 마찬가지로, lim⁡t→0f(t)/t\lim_{t\to 0} f(t)/t

• limt→0​f(t)/t에서 t라는 이름을 쓸 수도 있고,

• lim⁡x→0f(x)/x\lim_{x\to 0} f(x)/x

• limx→0​f(x)/x라고 써도 전혀 같은 의미예요.

즉,

lim⁡t→0f(t)t=1\lim_{t\to 0} \frac{f(t)}{t} = 1

t→0lim​tf(t)​=1

이라고 했을 때, 이건

lim⁡x→0f(x)x=1\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x} = 1

x→0lim​xf(x)​=1

이랑 똑같다는 뜻이에요.

변수 이름은 그저 라벨일 뿐, 실제 값(극한)이 바뀌지 않아요.

3. 비유로 이해하기

예를 들어,

• “민수야”라고 불러도 그 사람은 민수고,

• “x야”라고 불러도 그 사람은 여전히 민수예요.

사람은 그대로인데 이름표만 바뀐 것이에요.

즉,

• t=x−at=x-a

• t=x−a로 치환하면 x→a  ⟺  t→0x\to a \iff t\to 0

• x→a⟺t→0.

• 따라서 극한은 lim⁡t→0f(t)/t\lim_{t\to0} f(t)/t

• limt→0​f(t)/t.

• 여기서 t라는 글자를 굳이 고집할 필요 없으니 그냥 다시 x라고 바꿔도 됨.